Les équations : la méthode de Descartes pour résoudre les problèmes géométriques

Le cycle « Un texte, une aventure mathématique » permet à un large public de découvrir les mathématiques contemporaines. Lors de cette séance, Nalini Anantharaman analyse la méthode de Descartes pour résoudre les problèmes géométriques par des équations.

René Descartes (1596-1650) est un monument de la pensée française, et l’adjectif « cartésien » est passé dans le langage courant pour désigner une personne rationnelle, rigoureuse. Descartes nous a laissé des écrits sur l’optique, la physique des phénomènes atmosphériques, la physiologie du corps humain, la métaphysique, la morale… Cet exposé abordera plus spécifiquement La Géométrie, une des trois annexes au Discours de la méthode.

Dans sa jeunesse, Descartes porte un regard critique sur l’enseignement qu’il reçoit. Seules les mathématiques trouvent grâce à ses yeux, « à cause de la certitude et de l’évidence de leurs raisons », tout en déplorant qu’elles restent trop abstraites. À 23 ans, il fixe comme but de sa vie de combattre les fausses connaissances et d’en bâtir de solides. Pour cela, il faut une méthode saine. Sur quelles bases raisonner, comment chercher et trouver ? Telles sont les questions abordées dans le Discours de la méthode (1637), auquel il joint trois annexes scientifiques, qui doivent servir à montrer qu’il a réellement obtenu de premiers résultats dans ses recherches.

Dans La Géométrie, Descartes étend la géométrie des Grecs en lui adjoignant de nouveaux objets (des courbes) et de nouveaux procédés de construction, au-delà de la règle et du compas. Ces courbes répondent à certains problèmes hérités de Pappus, pour lesquels Descartes propose une nouvelle méthode supposément universelle, et en tout cas révolutionnaire : elle consiste à attribuer des lettres (x, y…) aux différentes inconnues (longueurs, angles) et à analyser le problème pour le convertir en équations. Les problèmes de Pappus mènent à des équations polynomiales, et Descartes se propose de les comprendre de manière la plus complète possible : en les classant par complexité croissante, en proposant des procédés mécaniques de traçage, et enfin en cherchant des points sur ces courbes en extrayant les racines de polynômes. Tout problème géométrique peut se mettre en équation, toute équation a une interprétation géométrique. Quitte à mener courageusement les calculs, on est sûr de résoudre n’importe quel problème.

Par la suite, Descartes n’écrira plus de traité mathématique : il étend sa méthode à tous les domaines de la connaissance, décrite comme un « arbre dont les racines sont la métaphysique, le tronc est la physique et les branches qui sortent de ce tronc sont toutes les autres sciences » (médecine, mécanique et morale). Néanmoins, sa méthode de mise en équation a complètement changé la face de la géométrie : on l’enseigne toujours, en parlant de « coordonnées cartésiennes ». Une large partie de la géométrie et de la physique se fait toujours en coordonnées, et le calcul analytique est considéré comme une méthode saine et efficace.

Pourtant, un jour où un problème géométrique était résolu par le calcul, des critiques sont formulées : « Tout le monde peut calculer, mais ce qu’il faut, c’est réellement comprendre ! ». Il devient alors pertinent de s’interroger sur ce qui peut être reproché à l’approche calculatoire de la géométrie, ou au contraire, sur les avantages qu’elle peut offrir. La réflexion peut s’appuyer sur des exemples illustrant différentes manières d’aborder la géométrie, ainsi que sur la signification du mot « comprendre ».

Enfin, le Discours permet également d’aborder ce qu’il révèle du travail de chercheur selon Descartes : l’intérêt (ou non) de publier, la formation des élèves, le rythme de travail, la gestion des périodes non fécondes, les relations avec le pouvoir, ainsi que les contraintes imposées par la censure.

Cycle de conférences organisé par la BnF et la Société mathématique de France