Dennis Sullivan, mathématicien des analogies

Le cycle « Un texte, une aventure mathématique » permet à un large public de découvrir les mathématiques contemporaines. Pour cette séance, Barbara Schapira analyse les travaux du mathématicien américain Dennis Sullivan à partir de son article « The density at infinity of a discrete group of hyperbolic motions ».

Les systèmes dynamiques sont une branche des mathématiques née au tournant du XX^e siècle. Il s’agit de comprendre, qualitativement, l’évolution d’un système au cours du temps, et décrire le mieux possible des trajectoires qu’on ne peut pas calculer explicitement, ni approcher numériquement.

Imaginons que nous habitions sur une surface qui, autour de chacun de ses points, a l’allure d’une selle de cheval. Une telle surface est appelée hyperbolique. La dynamique qui nous intéressera consiste simplement, pour chaque point de départ, et chaque direction de départ fixée, à avancer tout droit dans cette direction sur la surface. La géométrie de la selle de cheval rend les trajectoires très sensibles aux conditions initiales. Il est rapidement impossible de prédire le comportement précis d’une trajectoire.

Dans les années 1930, Hopf montre un résultat important. Lorsque la surface a une aire finie, il montre que presque toutes les trajectoires vont remplir la surface, en passant dans chaque recoin de la surface un temps proportionnel à l’aire de cet endroit. En termes savants, on dit que la dynamique est ergodique.

Dennis Sullivan est un mathématicien américain, lauréat du prix Abel en 2023. Dans un article fondateur de 1979, il trace des liens forts et féconds entre les travaux déjà anciens de Eberhard Hopf, et l’œuvre magnifique de trois contemporains très différents, Rufus Bowen sur les systèmes dynamiques chaotiques, William Thurston en géométrie et topologie, et S.J. Patterson, motivé par la théorie des nombres.

Les systèmes dynamiques sont une branche des mathématiques née au tournant du XX^e siècle. Il s’agit de comprendre, qualitativement, l’évolution d’un système au cours du temps, et décrire le mieux possible des trajectoires qu’on ne peut pas calculer explicitement, ni approcher numériquement.

Imaginons que nous habitions sur une surface qui, autour de chacun de ses points, a l’allure d’une selle de cheval. Une telle surface est appelée hyperbolique. La dynamique qui nous intéressera consiste simplement, pour chaque point de départ, et chaque direction de départ fixée, à avancer tout droit dans cette direction sur la surface. La géométrie de la selle de cheval rend les trajectoires très sensibles aux conditions initiales. Il est rapidement impossible de prédire le comportement précis d’une trajectoire.

Dans les années 1930, Hopf montre un résultat important. Lorsque la surface a une aire finie, il montre que presque toutes les trajectoires vont remplir la surface, en passant dans chaque recoin de la surface un temps proportionnel à l’aire de cet endroit. En termes savants, on dit que la dynamique est ergodique.

Dennis Sullivan est un mathématicien américain, lauréat du prix Abel en 2023. Dans un article fondateur de 1979, il trace des liens forts et féconds entre les travaux déjà anciens de Eberhard Hopf, et l’œuvre magnifique de trois contemporains très différents, Rufus Bowen sur les systèmes dynamiques chaotiques, William Thurston en géométrie et topologie, et S.J. Patterson, motivé par la théorie des nombres.

Barbara Schapira

Barbara Schapira a soutenu sa thèse en 2003 à Orléans, sous la direction de Martine Babillot. Elle a été maîtresse de conférences à l’université Picardie Jules Verne, de 2004 à 2015. Elle a soutenu son habilitation à diriger des recherches en 2011, puis a exercé à l’université de Rennes 1 jusqu’en 2024. Elle est maintenant Professeure à l’Université de Montpellier. Elle s’investit depuis le début de sa carrière dans la diffusion de la recherche mathématique auprès du grand public, et en particulier auprès des lycéennes. Citons, par exemple, l’accueil d’élèves boursières en stage de seconde ou encore l’organisation d’un stage « Math C pour L ». Ses travaux de recherche se situent à l’interface de la géométrie et des systèmes dynamiques. Plus précisément, elle étudie ce qui se passe à l’infini pour certaines géométries non euclidiennes, appelées hyperboliques, et établit des correspondances entre géométrie fractale et comptage d’orbites périodiques. Elle a été directrice du GDR CNRS «Géométrie, dynamique, probabilités» de 2018 à 2022. Elle fait partie de la sélection « Femmes en tête 2024 » du Collège des sociétés savantes. Elle est actuellement membre junior de l’Institut Universitaire de France.

Autour du texte

Dennis Sullivan, « The density at infinity of a discrete group of hyperbolic motions », Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques, n. 50, 1979, p. 171–202

Cycle de conférences organisé par la BnF et la Société Mathématique de France.